Cálculo Diferencial e Integral I Aula 02

2.0 Limite

Estudaremos a partir de agora o limite de uma função, discutiremos a partir de noções intuitivas:

Exemplo

f(x) = 1/x

Vejamos uma tabela que relaciona os valores de x e y:

X	Y
1	1
10	0,1
100	0,01
1000	0,001
0,1	1
0,00001	100000

Podemos observar que a medida que x cresce y diminui e vise-versa.

Observe que x nunca poderá ser igual a 0, mas quando x tende a 0, y tende ao infinito. E quando x tende ao infinito y tende a 0 sendo que este nuca será igual a 0. Olhando o gráfico dessa função percebemos que a curva nunca tocará o eixo dos x ou dos y.

2.1 Exemplo

Vejamos agora o gráfico da função y = x/2 + 3 e duas tabelas relacionando os valores de x e y:

x	y
5	5,5
4,5	5,25
4,1	5,05
4,01	5,005
4,0001	5,00005

X	Y
3	4,5
3,5	4,75
3,9	4,95
3,99	4,995
3,9999	4,99995

Observamos que quando x se aproxima de 4, y se aproxima de 5, tanto pela direita do 4 quanto pela esquerda dele. É disso que se trata o limite. Para escrever isso de forma matemática, temos:

Observe que é possível tornar o valor de y tão próximo de 5 quanto desejamos, desde que tornemos x suficiente próximo de 4. Ou seja:

|y - 5| > ε

sendo  um número tão pequeno quanto se possa imaginar.

A ideia "desde que tornemos x suficiente próximo de 4" significa que deve existir um intervalo aberto de raio δ > 0 e centro a = 4, tal que se x variar nesse intervalo (isto é, se 0 < |x - 4| < δ), então deve valer a desigualdade |y - 5| > ε.

Geometricamente falando:

2.2 Definição

A ideia intuitiva de limite é de que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a. Se é possível que f(x) seja muito próximo de L então significa que tomamos valores de x suficientemente próximos de a (x diferente de a).

Se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que |f(x) - L| <  ε então 0 < |x - a| < δ.

2.3 Exercícios

1. Seja f(x) a função definida pelo gráfico:

encontre se existir:

a) lim f(x) com x tendendo a 3 pela esquerda

b) lim f(x) com x tendendo a 3 pela direita

c) lim f(x) com x tendendo a 3

d) lim f(x) com x tentendo a menos infinito

e) lim f(x) com x tendendo a mais infinito

f) lim f(x) com x tendendo a 4